设θ属于[0,π/2],且cos^2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立,求m的取值范围

用分离变量法可避开分类讨论的麻烦:

显然，θ=π/2时，不等式恒成立.
当θ∈[0，π/2)时，不妨设sinθ=t，则
t∈[0，1)，(cosθ)^2=1-t2，
于是，原式化为
1-t2+2mt-2m-2<0
→m>(-1/2)[(1-t)+2/(1-t)]+1.
由于对勾函数f(x)=x+(2/x)在x∈(0，√2]单调递减，
且0<1-t≤1，
∴(1-t)+2/(1-t)≥1+2/1=3，
即其最小值为3.
而m>(-1/2)[(1-t)+2/(1-t)]+1恒成立，
∴m取值范围是m>-1/2，即m∈(-1/2，+∞)。

原式=1-2sinΘ2+2msinΘ-2m-2<0
即 2 sinΘ2-2msinΘ+2m+1>0
令x=sinΘ
即F(x)=2x2-2mx+2m+1，x在【0，1】时f（x）>0
F(x)=2(x-m/2)2-m2/2+2m+1
当 m/2<=0即m<=0
F(0)>0 得m>-1/2 即 -1/2<m<=0
当0<m/2<1 即 0<m<2
-m2/2+2m+1>0 得 m<2-sqrt(6) 或m>2+sqrt(6)
即 0<m<2-sqrt(6)
当 1<=m/2 即2<=m
F(1)>0 恒成立
即 2<=m
综上
-1/2<m<2-sqrt(6) or m>=2